1. Định nghĩa con đường trung tuyến là gì?
Đường trung con đường của một đoạn thẳng là một mặt đường thẳng đi qua trung điểm của đoạn thẳng đó.
Bạn đang xem: Định nghĩa đường trung tuyến trong tam giác và một số dạng toán thường gặp
2. Định nghĩa đường trung tuyến đường của tam giác
Trong hình học thì đường trung con đường của một tam giác được định nghĩa là một trong đoạn trực tiếp nối từ bỏ đỉnh của tam giác tới trung điểm của cạnh đối diện. Mỗi tam giác sẽ sở hữu 3 đường trung tuyến.
Ví dụ:
Định nghĩa mặt đường trung tuyến đường của tam giác
Theo như hình vẽ trên thì những đoạn thẳng AI, CN, BM vẫn là 3 trung con đường của tam giác ABC.
3. đặc điểm và định lý đường trung đường trong tam giác
- Đồng quy ở một điểm
Ba mặt đường trung con đường của tam giác đồng quy tại 1 điểm, được hotline là trọng trung tâm của tam giác.
Khoảng bí quyết từ giữa trung tâm của tam giác mang đến đỉnh bằng 2/3 độ dài đường trung con đường ứng với đỉnh đó.
- phân thành các tam giác bé dại có diện tích bằng nhau
Mỗi đường trung tuyến đường chia diện tích của tam giác thành nhị phần bằng nhau. Bố trung tuyến chia tam giác thành sáu tam giác nhỏ với diện tích bằng nhau.
4. Một số trong những định lý con đường trung tuyến trong tam giác
Thực hành: cắt một tam giác bởi giấy. Gấp lại để xác định trung điểm một cạnh của nó. Kẻ đoạn trực tiếp nối trung điểm này với đỉnh đối diện. Bằng phương pháp tương tự, hãy vẽ tiếp hai tuyến đường trung đường còn lại.
Quan gần kề tam giác vừa giảm (trên này đã vẽ bố đường trung tuyến). Mang lại biết: ba đường trung con đường của tam giác này có cùng đi qua 1 điểm xuất xắc không?
Định lý 1: ba đường trung con đường của một tam giác thuộc đi qua 1 điểm. điểm chạm mặt nhau của 3 mặt đường trung tuyến hotline là trung tâm (centroid) của tam giác đó.
Định lý 2: Đường trung tuyến đường của tam giác phân chia tam giác ấy thành nhì tam giác có diện tích bằng nhau. Bố trung tuyến chia tam giác thành 6 tam giác bé dại với diện tích bằng nhau.
Tam giác ΔABC có D, E, F là BC, CA, AB. Lúc ấy AD, BE, CF theo lần lượt là những đường trung tuyến khởi đầu từ ba đỉnh A, B, C. AD, BE, CF đồng quy nghỉ ngơi G.
Ta bao gồm G là trọng tâm của tam giác ΔABC.
Theo định nghĩa, AE = EC, CD = DB, BF = FA, do đó:
SΔAGE = SΔCGE; SΔBGD = SΔCGD; SΔAGF = SΔBGF trong kia kí hiệu SΔABC là diện tích của tam giác ABC.
Điều này đúng bởi trong những trường hợp hai tam giác tất cả chiều dài đáy bởi nhau, và gồm cùng mặt đường cao trường đoản cú đáy, mà diện tích của một tam giác thì bởi ½ chiều lâu năm đáy nhân với mặt đường cao, khi đó hai tam giác ấy có diện tích s bằng nhau.
Chúng ta có:
SΔACG = SΔACD − SΔCGD; SΔABG = SΔABD − SΔBGD
Do kia ta có :SΔABG = SΔACG và SΔDBG = SΔDCG; SΔCDG = ½SΔACG
Do SΔBGF = SΔAGF, SΔAGF = ½SΔACG = SΔBGF = ½SΔBCG
Do vậy, SΔAFG=SΔBFG=SΔBGD=SΔCGD
Sử dụng cùng cách thức này. Ta có thể chứng tỏ điều sau:
SΔAFG=SΔBFG=SΔBGD=SΔCGD=SΔCGE=SΔAGE
Định lý 3: Về vị trí trọng tâm: Trọng tâm của một tam giác bí quyết mỗi đỉnh một khoảng tầm bằng 23 độ dài mặt đường trung tuyến qua đỉnh ấy.
Ví dụ như sau:
Tam giác ΔABC có AD, BE, CF theo lần lượt là các đường trung tuyến xuất phát điểm từ ba đỉnh A, B, C. Theo định lý 1 thì bố đường này đồng quy tại một điểm gọi là điểm G.
Theo định lý 2 thì:
AG=⅔ AD;BG=⅔ BE;CG=⅔ CF
5. Định nghĩa mặt đường trung con đường trong tam giác đặc biệt
Tìm hiểu con đường trung tuyến trong tam giác vuông
Tam giác vuông là một trường hợp đặc biệt quan trọng của tam giác, vào đó, tam giác sẽ sở hữu một góc bao gồm độ khủng là 90 độ, và hai cạnh tạo cho góc này vuông góc với nhau.
Chính thế cho nên mà đường trung đường của tam giác vuông sẽ có tương đối đầy đủ những đặc thù của một mặt đường trung con đường tam giác.
Trong một tam giác vuông, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bởi nửa cạnh huyền.
Một tam giác có trung tuyến đường ứng với cùng một cạnh bằng nửa cạnh đó thì tam giác ấy là tam giác vuông.
Ví dụ 1:
Đường trung tuyến trong tam giác vuông
Tam giác ABC vuông sống B, độ dài đường trung tuyến BM sẽ bằng MA, MC cùng bằng ½ AC
Ngược lại giả dụ BM = ½ AC thì tam giác ABC đã vuông ngơi nghỉ B.
Ví dụ 2:
Tam giác ΔABC vuông sinh hoạt A, độ dài mặt đường trung tuyến AM sẽ bằng MB, MC cùng bằng ½ BC.
Ngược lại nếu AM = ½ BC thì tam giác ΔABC sẽ vuông làm việc A.
Chứng minh:
Cho tam giác ΔABC. Gọi M là trung điểm của BC. Chứng tỏ rằng:
1. Nếu như = 900 thì MA = 1/2 BC
2. Nếu như MA = ½ BC thì góc ∠A = 900.
Xét tam giác ΔABC có M là trung điểm của BC.
Trên tia đối của tia MA mang điểm N làm thế nào cho MN = MA.
Ta có:
∠AMB = ∠NMC (đối đỉnh)
BM = centimet (giả thiết)
MA = MN (dựng hình)
Suy ra: tam giác tam giác ΔMAB = tam giác tam giác ΔMNC (c.g.c)
Suy ra: NC = AB và ∠MBA = ∠MCN
a) vì ∠MBA = ∠MCN nên AB // NC suy ra ∠BAC + ∠ACN = 1800.
Nếu góc ∠BAC = 900 thì góc ACNˆ = 900.
Khi đó ta có: tam giác ΔABC = tam giác ΔCNA (c.g.c) vì tất cả AC chung; AB = NC (cmt) với ∠BAC = ∠ACN = 900.
Ta có: AN = BC => AM = ½ BC
b) Ta có: MA = ½ AN. Giả dụ MA = ½ BC thì AN = BC.
Lại tất cả AB = công nhân (cmt)
Suy ra tam giác ΔABC = tam giác ΔCNA (c.c.c), suy ra: góc ∠BAC = góc ∠ACN
Mà ∠BAC + ∠ACN = 1800 (vì AB // CA) nên ∠BAC = 900 (dpcm)
6. Khám phá đường trung tuyến trong tam giác cân, tam giác đều
Tính chất: Đường trung đường trong tam giác cân nặng (và tam giác đều) ứng cùng với cạnh đáy thì vuông góc với cái đấy và phân chia tam giác những thành hai tam giác bằng nhau.
Tam giác đều ΔABC có AM, BN, CP thứu tự là tía đường trung đường của tam giác. Theo đặc thù của đường trung tuyến trong tam giác những ta có:
AM⊥BC; BN⊥AC; CP⊥AB và ΔABM = ΔACM; ΔABN = ΔCBN; ΔACP = ΔBCP.
7. Công thức tương quan tới độ nhiều năm của trung tuyến
Ta hoàn toàn có thể tính được độ dài mặt đường trung đường của một tam giác trải qua độ dài những cạnh của tam giác ấy. Độ lâu năm của trung tuyến được tính bằng định lý Apollonius như sau:
Trong đó a, b và c là những cạnh của tam giác với những trung đường tương ứng ma, mb, mc từ trung điểm.
Vậy là ta đã tìm hiểu khá không thiếu thốn về có mang và đặc thù của con đường trung tuyến, cũng giống như áp dụng nó trong một số trong những trường hợp sệt biệt. Sau đây bọn họ hãy luyện tập thông qua một số trong những bài tập dễ dàng nhé.
8. Bài xích tập về đường trung tuyến
Bài tập trắc nghiệm con đường trung tuyến
Câu 1: Cho tam giác ABC cân. Biết AB=AC=10cm, BC=12cm. M là trung điểm BC. Độ dài trung tuyến AM là:
A. 22cm
B. 2cm
C. 6cm
D. 8cm
Đáp án: D
Câu 2: Tam giác ABC bao gồm trung con đường AM = 9cm và trung tâm G. Độ lâu năm đoạn AG là:
A. 4,5cm
B. 3cm
C. 6cm
D. 4cm
Đáp án: C.
Câu 3: cho tam giác ABC có nhị đường trung tuyến BM và CN. Nếu BM = công nhân thì ΔABC là tam giác gì?
A. Tam giác cân
B. Tam giác vuông
C. Tam giác đều
D. Tam giác vuông cân
Đáp án: A.
Bài tập từ bỏ luận
Câu 1: Cho hai tuyến đường thẳng x’x với y’y chạm chán nhau làm việc O. Bên trên tia Ox lấy hai điểm A cùng B làm sao để cho A nằm trong lòng O với B, AB=2OA. Trên y’y đem hai điểm L và M sao để cho O là trung điểm của đoạn thẳng LM. Nối B với L, B với M với gọi p. Là trung điểm của đoạn trực tiếp MB, Q là trung điểm của đoạn trực tiếp LB. Chứng minh các đoạn trực tiếp LP và MQ trải qua A.
Xem thêm: Giải Sách Toán 6 Tập 2 - Giải Toán 6 Trang 87, 88 Cánh Diều
Cách giải:
Ta gồm O là trung điểm của đoạn LM (gt)
Suy ra BO là con đường trung tuyến đường của ΔBLM (1)
Mặt không giống BO = ba + AO vày A nằm trong lòng O, B xuất xắc BO = 2 AO + AO= 3AO vị AB = 2AO (gt)
Suy ra AO= ⅓BO hay BA= ⅔BO (2)
Từ (1) cùng (2) suy ra A là giữa trung tâm của ΔBLM ( tính chất của trọng tâm)
mà LP với MQ là các đường trung đường của ΔBLM vì p là trung điểm của đoạn thẳng MB (gt)
suy ra những đoạn thẳng LP với MQ đều đi qua A ( đặc thù của bố đường trung tuyến)
Câu 2: Cho ΔABC có BM, cn là hai đường trung tuyến cắt nhau tại G. Kéo dãn dài BM mang đoạn ME=MG. Kéo dãn CN lấy đoạn NF=NG. Hội chứng minh:
a) EF=BC
b) Đường trực tiếp AG đi qua trung điểm BC.
Cách giải:
a) Ta gồm BM và công nhân là hai tuyến phố trung tuyến gặp mặt nhau tại G bắt buộc G là trọng tâm của tam giác ΔABC.
⇒ GC = 2GN
mà FG = 2GN ⇒ GC=GF
Tương trường đoản cú BG, GE và ∠G1 = ∠G2 (đd). Do đó ΔBGC = ΔEGF(c.g.c))
Suy ra BC = EF
b.) G là trung tâm nên AG chính là đường trung tuyến đường thứ tía trong tam giác ABC đề xuất AG trải qua trung điểm của BC.