I. Tư tưởng đường trung trực

- Đường thẳng đi qua trung điểm của đoạn thẳng và vuông góc cùng với đoạn thẳng call là mặt đường trung trực của đoạn thẳng ấy.

Bạn đang xem: Tính chất đường trung trực của đoạn thẳng

II. đặc điểm đường trung trực


2.1. Tính chất đường trung trực của một quãng thẳng

*

Trên hình vẽ trên, d là đường trung trực của đoạn trực tiếp AB. Ta cũng nói: A đối xứng với B qua d.

Nhận xét:

Tập hợp những điểm cách đều nhì mút của một quãng thẳng là mặt đường trung trực của đoạn thẳng đó.

2.2. Định lý đảo

*

Điểm giải pháp đều nhị mút của một quãng thẳng thì nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng đó.

MA = MB ⇒ M thuộc đường trung trực của AB

Nhận xét: Từ hai định lý thuận với đảo, ta có: Tập hợp những điểm giải pháp đều nhì mút của một đoạn thẳng là con đường trung trực của đoạn trực tiếp đó.

Ví dụ: cho ΔABC. Hãy search một điểm cách đều nhì cạnh AB, AC và phương pháp đều nhì đỉnh A, B

Hướng dẫn giải:

*

Mọi điểm trên tia phân giác của góc A thì biện pháp đều nhì cạnh AB, AC (tính hóa học tia phân giác của một góc)

Mọi điểm trên phố trung trực của AB thì biện pháp đều nhị đỉnh A, B (tính hóa học đường trung trực của một quãng thẳng)

Vậy điểm M yêu cầu tìm là giao điểm của đường phân giác góc A và mặt đường trung trực của AB.

3. Một số thắc mắc thường gặp về mặt đường trung trực

Số mặt đường trung trực trong một đoạn thẳng?

Vì mặt đường trung trực là đường thẳng trải qua trung điểm và vuông góc cùng với đoạn thẳng. Mà mỗi đoạn thẳng chỉ gồm duy tốt nhất một điểm là trung điểm vì vậy mỗi đoạn thẳng gồm duy duy nhất 1 mặt đường trung trực.

Cách viết phương trình mặt đường trung trực của đoạn thẳng

Khi khám phá về khái niệm đường trung trực của đoạn thẳng, ta cũng cần phải biết cách viết phương trình mặt đường trung trực của đoạn thẳng như sau:

- cách 1. Ta tìm kiếm vectơ pháp đường của con đường trung trực với một điểm nhưng mà nó đi qua.

- bước 2. Ta phụ thuộc vào định lý 1: “Điểm nằm trên đường trung trực của một quãng thẳng thì biện pháp đều hai mút của đoạn trực tiếp đó. Nghĩa là nếu điểm M thuộc đường thẳng AB thì thì MA = MB.

4. Các dạng toán thường gặp

Dạng 1: Chứng minh con đường trung trực của một đoạn thẳng

- Phương pháp:

Để bọn chúng minh d là con đường trung trực của đoạn trực tiếp AB, ta chứng minh d chứa hai điểm giải pháp đều A cùng B hoặc cần sử dụng định nghĩa đường trung trực.

Dạng 2: Chứng minh hai đoạn thẳng bởi nhau

- Phương pháp:

Ta thực hiện định lý: “Điểm nằm trên đường trung trực của một đoạn thẳng thì phương pháp đều nhì mút của đoạn thẳng đó.”

Dạng 3: Bài toán về giá chỉ trị bé dại nhất

Phương pháp:

- Sử dụng đặc thù đường trung trực để rứa độ lâu năm một đoạn trực tiếp thành độ lâu năm một đoạn trực tiếp khác bởi nó.

- thực hiện bất đẳng thức tam giác nhằm tìm giá trị nhỏ nhất.

5. Bài tập bao gồm lời giải

Bài 1: Gọi M là vấn đề nằm trên đường trung trực của đoạn trực tiếp AB. Ví như MA có độ nhiều năm 5cm thì độ lâu năm MB bằng bao nhiêu?

Giải:

Vì điểm M nằm trê tuyến phố trung trực của đoạn thẳng AB yêu cầu theo định lí về tính chất của những điểm thuộc con đường trung trực ta gồm MA = MB. Cơ mà MA = 5cm (gt) suy ra MB = 5cm.

Bài 2:

Chứng minh đường thẳng PQ được vẽ như vào hình 43 và đúng là đường trung trực của đoạn trực tiếp MN.

Gợi ý: Sử dụng định lí

*

Giải:

Ta gồm : nhị cung tròn tâm M và N có bán kính bằng nhau và cắt nhau tại P, Q.

Nên MP = NP với MQ = NQ

⇒ P; Q giải pháp đều hai mút M, N của đoạn thẳng MN

nên theo định lí 2 : P; Q thuộc đường trung trực của MN

hay con đường thẳng qua P, Q là con đường trung trực của MN.

Vậy PQ là mặt đường trung trực của MN.

Bài 3:

Cho cha tam giác cân ABC, DBC, EBC có chung lòng BC. Minh chứng ba điểm A, D, E thẳng hàng.

Gợi ý đáp án

Vì ΔABC cân tại A ⇒ AB = AC

⇒ A thuộc con đường trung trực của BC.

Vì ΔDBC cân tại D ⇒ DB = DC

⇒ D thuộc đường trung trực của BC

Vì ΔEBC cân nặng tại E ⇒ EB = EC

⇒ E thuộc đường trung trực của BC

Do kia A, D, E cùng thuộc mặt đường trung trực của BC

Vậy A, D, E thẳng hàng

Bài 4: 

Gọi O là giao điểm của ba đường trung trực vào ΔABC. Khi đó O là:

A. Điểm biện pháp đều ba cạnh của ΔABC

B. Điểm bí quyết đều ba đỉnh của ΔABC

C. Vai trung phong đường tròn ngoại tiếp ΔABC

D. Đáp án B cùng C đúng

Gợi ý đáp án

Chọn câu trả lời D

Ba con đường trung trực của một tam giác thuộc đi sang 1 điểm. Điểm này biện pháp đều cha đỉnh của tam giác và là trung ương của đường tròn nước ngoài tiếp tam giác đó

Bài 5: 

Nếu một tam giác có một mặt đường trung con đường đồng thời là mặt đường trung trực thì tam giác sẽ là t am giác gì?

A. Tam giác vuông

B. Tam giác cân

C. Tam giác đều

D. Tam giác vuông cân

Gợi ý đáp án

Giả sử ΔABC có AM là trung con đường đồng thời là đường trung trưc. Ta sẽ chứng tỏ ΔABC là tam giác cân. Thật vậy, vị AM là trung tuyến của ΔABC (gt) ⇒ BM = MC (tính hóa học trung tuyến)

Vì AM là trung trực của BC ⇒ AM ⊥ BC

Xét nhị tam giác vuông ΔABM và ΔACM có:

BM = centimet (cmt)

AM chung

⇒ ΔABM = ΔACM (2 cạnh góc vuông)

⇒ AB = AC (2 cạnh tương ứng) ⇒ ΔABC cân nặng tại A

Chọn giải đáp D

Bài 6:

Cho đoạn trực tiếp AB ở trong nửa mặt phẳng bờ d. Khẳng định điểm M thuộc d làm sao để cho M phương pháp đều nhị điểm A, B.

Gợi ý đáp án

Vẽ trung trực xy của đoạn thẳng AB

*

Giả sử xy cắt d tại điểm M, ta có: MA = MB

+ trường hợp AB ⊥ d thì xy // d, ta không xác định được điểm M

+ kế bên trường hợp AB ⊥ d , ta luôn khẳng định được điểm M cùng M là duy nhất.

Xem thêm: Bài 119 Trang 99 Sgk Toán 6 Tập 1, Bài 119 Trang 100 Sgk Toán 6 Tập 1

Bài 7: 

Cho tam giác ABC bao gồm AC > AB, phân giác AD. Trên AC lấy điểm E sao để cho AE = AB. Minh chứng rằng AD vuông góc với BE.