Trong một tam giác, đoạn vuông góc kẻ xuất phát điểm từ 1 đỉnh đến đường thẳng đựng cạnh đối diện gọi là đường cao của tam giác đó.
Bạn đang xem: Tính chất 3 đường cao trong tam giác
Ví dụ: Xét tam giác (ABC), đoạn thẳng(AI)vuông góc với(BC). Ta nói đoạn thẳng(AI)là một đường cao (xuất phát từ đỉnh(A)) của tam giác(ABC).
Đôi khi ta cũng nói đường thẳng(AI)là một đường cao của tam giác(ABC).
Tương từ như vậy, ta rất có thể kẻ các đường cao(BH,CK)của tam giác(ABC)như hình sau:
Mỗi tam giác có bố đường cao.
Ví dụ 1: mang lại tam giác nhọn(ABC)có hai tuyến đường cao(AD,BE)cắt nhau tại(H). Biết(widehatACB=70^0). Tính số đo góc(widehatDHE)?
Giải:
Xét vào tam giác(BEC)vuông tại(E)ta có(widehatEBC+widehatECB=90^0)
(RightarrowwidehatEBC=90^0-70^0=20^0)hay(widehatHBD=20^0)
Xét vào tam giác(HDB)vuông tại(D)ta có(widehatHBD+widehatDHB=90^0)
(RightarrowwidehatDHB=90^0-widehatHBD=90^0-20^0=70^0)
Mặt không giống ta có:(widehatDHB+widehatDHE=180^0)(hai góc bù nhau)
Nên(widehatDHE=180^0-70^0=110^0)
2. Tính chất ba con đường cao của tam giác
Định lí:
Ba đường cao của một tam giác cùng đi qua một điểm. Điểm này hotline là trực chổ chính giữa của tam giác.
Ví dụ: Xét các dạng tam giác(ABC)sau. Những đường cao(AI,BK,CL)cùng trải qua (đồng quy tại) điểm(H). Lúc đó,(H)là trực tâm của tam giác(ABC).
Nhận xét: Trực tâm của một tam giác rất có thể nằm vào tam giác, có thể nằm ko kể tam giác hoặc trùng với một đỉnh của tam giác.
Ví dụ 2: đến tam giác(ABC)vuông cân nặng tại(A).Trên cạnh(AB)lấy điểm(H). Bên trên tia đối của tia(AC)lấy điểm(D)sao cho(AD=AH).
Chứng minh rằng(CHperp BD).
Giải:
Gọi giao điểm của(DH)và(BC)là(E).
Do tam giác(ABC)vuông cân nặng tại(A)nên(widehatACB=widehatABC=45^0)
(RightarrowwidehatECD=45^0)
Lại có:(AD=AH)(RightarrowDelta AHD)vuông cân tại(A). Vì đó(widehatAHD=widehatADH=45^0)
(RightarrowwidehatCDE=45^0)
Xét tam giác(ECD)có(widehatCDE+widehatECD+widehatCED=180^0)(tổng ba góc vào một tam giác)
(Rightarrow45^0+45^0+widehatCED=180^0RightarrowwidehatCED=90^0)
(Rightarrow DHperp BC)
Xét tam giác(BCD)có(BHperp CD,DHperp BC)suy ra các đường thẳng(BH,DH)là đường cao của tam giác(BCD)
Do 3 con đường cao của tam giác đồng quy trên một điểm.
Nên(H)là trực tâm của tam giác(BCD)(Rightarrow CHperp BD)
3. Về những đường cao, trung tuyến, trung trực, phân giác của tam giác cân
Tính chất:
Trong một tam giác cân, đường trung trực ứng với cạnh đáy đồng thời là mặt đường phân giác, mặt đường trung tuyến đường và con đường cao cùng bắt đầu từ đỉnh đối lập với cạnh đó.
Nhận xét: trong một tam giác, nếu hai trong tư loại con đường (đường trung tuyến, đường phân giác, mặt đường cao cùng xuất phát tại một đỉnh và con đường trung trực ứng với cạnh đối lập của đỉnh này) trùng nhau thì tam giác đó là 1 trong tam giác cân.
Ví dụ 3: Cho tam giác(ABC)cân tại(A), mặt đường cao(AI). Biết(AB=AC=10cm),(BC=12cm). Tính độ lâu năm đoạn thẳng(AI).
Xem thêm: Từ Điển Anh Việt " Convict Là Gì, Dịch Nghĩa Của Từ Convict :
Giải:
Do tam giác(ABC)cân tại(A)nên con đường cao(AI)đồng thời là trung tuyến đường ứng với cạnh(BC)
(Rightarrow I)là trung điểm(BC)
(Rightarrow IB=dfracBC2=dfrac122=6left(cm ight))
Ta có: Tam giác(ABI)vuông tại(I). Áp dụng định lý Py-ta-go ta có:
(AI^2+BI^2=AB^2)
(Rightarrow AI=sqrtAB^2-BI^2=sqrt10^2-6^2=8left(cm ight))
Đặc biệt:Đối cùng với tam giác đều, trọng tâm, trực tâm, điểm bí quyết đều cha đỉnh, điểm bên trong tam giác và giải pháp đều tía cạnh là tư điểm trùng nhau.