Gọi E, F theo thiết bị tự là chân những đường vuông góc kẻ tự H mang lại AB, AC. Hotline (I), (K) theo thiết bị tự là các đường tròn ngoại tiếp tam giác HBE, HCF.
a) Hãy xác xác định trí tương đối của các đường tròn: (I) và (O); (K) và(O); (I) và (K).
Bạn đang xem: Bài 41 trang 128 sgk toán 9 tập 1
b) Tứ giác AEHF là hình gì? vị sao?
c) minh chứng đẳng thức (AE.AB = AF.AC)
d) minh chứng rằng EF là tiếp tuyến chung của hai đường tròn (I) với (K)
e) Xác xác định trí của điểm H nhằm EF bao gồm độ dài phệ nhất.
Video hướng dẫn giải
Phương pháp giải - Xem bỏ ra tiết
a) Vị trí tương đối của hai đường tròn (O;R) và (O";r) ((R ge r) )
- TH1: 2 đường tròn giảm nhau (có 2 điểm chung) khi và chỉ khi : R - r 0
+) Tiếp xúc xung quanh khi còn chỉ khi OO" = R + r
b) chứng tỏ tứ giác có cha góc vuông nhờ vào kiến thức : “Tiếp con đường của con đường tròn vuông góc với nửa đường kính tại tiếp điểm."
c) dùng hệ thức lượng về chiều cao và độ lâu năm hình chiếu của các cạnh góc vuông lên cạnh huyền : (h^2 = b".c")
d) chứng minh 1 đường thẳng là tiếp tuyến của một đường tròn thì ta minh chứng cho mặt đường thẳng đó vuông góc với bán kính tại 1 điều thuộc mặt đường tròn.
Xem thêm: Bad Ass Là Gì ? Ý Nghĩa Của Từ Badass Badass Là Gì
e) biểu diễn độ lâu năm (EF) theo độ dài của (AH) rồi biện luận nhằm tìm địa chỉ của dây kia vuông góc với (BC).
Lời giải đưa ra tiết
a) (OI = OB – IB) phải (I) xúc tiếp trong với (O)
(OK = OC – KC) yêu cầu (K) tiếp xúc trong với (O)
(IK = IH + KH) bắt buộc (I) tiếp xúc ngoại trừ với (K)
b) do (HE ot AB) (gt)
( Rightarrow widehat A mEH = 90^0)
Tương tự bao gồm (widehat AFH = 90^0) ( do (HFot AC))
Và (widehat BAC = 90^0) (do A thuộc đường tròn đường kính BC)
Tứ giác AEHF gồm (widehat EAF = widehat AEH = widehat AFH = 90^0) nên là hình chữ nhật (Dấu hiệu dìm biết)
c) ∆ABH vuông trên H, HE là con đường cao đề xuất (AH^2 = AE. AB) (hệ thức lượng vào tam giác vuông)
∆ACH vuông tại H, HF là mặt đường cao bắt buộc (AH^2 = AF. AC) (hệ thức lượng vào tam giác vuông)
Do đó (AE. AB = AF. AC) (vì cùng bởi (AH^2) )
d) call M là giao điểm của AH cùng EF, ta có: (ME = MF = MH = MA) (do tứ giác AEHF là hình chữ nhật)
Xét ∆MEI cùng ∆MHI có:
(ME = MH, IE = IH (=R)), mi (cạnh chung)
Do kia (∆MEI = ∆MHI) (c.c.c)
(Rightarrow widehat MEI = widehat MHI) (2 góc tương ứng)
mà (widehat MHI = 90^0) (do (ADot BC)) yêu cầu (widehat MEI = 90^0)
⇒ (ME ot EI) tại E nhưng mà IE là nửa đường kính đường tròn (I)
⇒ ME xuất xắc EF là tiếp tuyến đường của con đường tròn (I)
Chứng minh giống như có EF là tiếp đường của con đường tròn (K)
Hoặc ta chứng minh EF là tiếp con đường của mặt đường tròn (K) như sau:
Vì (MF=MH) (cmt) cần tam giác MFH cân tại M ⇒ (widehat MHF=widehat MFH) (*) (tính chất)
Vì (KH=KF) (= nửa đường kính đường tròn (K)) đề xuất tam giác KFH cân nặng tại K
⇒ (widehat KHF=widehat KFH) (**) (tính chất)
Từ (*) và (**) ta có: (widehat MHF+widehat KHF=widehat MFH+widehat HFK)
Hay (widehat KFM=widehat MHK=90^0) (do (AHot BC))
⇒ (MFot FK) tại F mà lại KF là nửa đường kính đường tròn (K) nên EF là tiếp tuyến của mặt đường tròn (K)
e) Cách 1:
Ta có (EF = AH) (vì AEHF là hình chữ nhật) mà (AH ≤ AO ) (=bán kính đường tròn (O)=R)
Do kia (EF ≤ R), (R) không đổi. Vệt “=” xảy ra (⇔ H ≡ O)
Vậy lúc dây AD vuông góc cùng với BC trên O thì EF có độ dài mập nhất.
Cách 2 câu e:
Xét con đường tròn (O) có BC là 2 lần bán kính và AD là dây cung nhưng (ADot BC) tại H phải H là trung điểm của AD (định lý). Suy ra (AH=dfracAD2)