Luyện tập Bài §6. Hệ thức Vi-ét và ứng dụng, Chương IV – Hàm số \(y = ax^2 (a ≠ 0)\). Phương trình bậc hai một ẩn, sách giáo khoa toán 9 tập hai. Nội dung bài giải bài 29 30 31 32 33 trang 54 sgk toán 9 tập 2 bao gồm tổng hợp công thức, lý thuyết, phương pháp giải bài tập phần đại số có trong SGK toán để giúp các em học sinh học tốt môn toán lớp 9.
Bạn đang xem: Bài 29 trang 54 sgk toán 9 tập 2
Lý thuyết
1. Hệ thức Vi-ét
Nhắc lại bài cũ về phương trình bậc hai \(ax^2+bx+c=0(a\neq 0)\) có 2 nghiệm phân biệt
\(x_1=\frac{-b+\sqrt{\Delta }}{2a}; x_2=\frac{-b-\sqrt{\Delta }}{2a}\)
Ta có: \(x_1+x_2=\frac{-2b+\sqrt{\Delta }-\sqrt{\Delta }}{2a}=-\frac{b}{a}\)
\(x_1.x_2=\frac{b^2-\Delta }{4a^2}=\frac{4ac}{4a^2}=\frac{c}{a}\)
Định lý Vi-ét:
Nếu \(x_1;x_2\) là hai nghiệm của phương trình \(ax^2+bx+c=0 (a\neq 0)\) thì:
\(x_1+x_2=-\frac{b}{a}\)
và \(x_1.x_2=\frac{c}{a}\)
Tổng quát:
Nếu phương trình \(ax^2+bx+c=0 (a\neq 0)\) có \(a+b+c=0\) thì phương trình có một nghiệm là \(x_1=1\) và nghiệm kia là \(x_2=\frac{c}{a}\).
Nếu phương trình \(ax^2+bx+c=0 (a\neq 0)\) có \(a-b+c=0\) thì phương trình có một nghiệm là \(x_1=-1\) và nghiệm kia là \(x_2=-\frac{c}{a}\).
2. Tìm hai số khi biết tổng và tích của chúng
Tìm 2 số khi biết tổng của chúng là S và tích của chúng là P. Giả sử 1 số là x thì số còn lại là \(S-x\)
Vì thế, tích của chúng được viết lại là: \(x(S-x)=P\Leftrightarrow x^2-Sx+P=0\)
Đặt \(\Delta =S^2-4P\)
Dưới đây là Hướng dẫn giải bài 29 30 31 32 33 trang 54 sgk toán 9 tập 2. Các bạn hãy đọc kỹ đầu bài trước khi giải nhé!
Luyện tập
movingthenationforward.com giới thiệu với các bạn đầy đủ phương pháp giải bài tập phần đại số 9 kèm bài giải chi tiết bài 29 30 31 32 33 trang 54 sgk toán 9 tập 2 của Bài §6. Hệ thức Vi-ét và ứng dụng trong Chương IV – Hàm số \(y = ax^2 (a ≠ 0)\). Phương trình bậc hai một ẩn cho các bạn tham khảo. Nội dung chi tiết bài giải từng bài tập các bạn xem dưới đây:
1. Giải bài 29 trang 54 sgk Toán 9 tập 2
Không giải phương trình, hãy tính tổng và tích các nghiệm (nếu có) của mỗi phương trình sau:
a) \(4{x^2} + {\rm{ }}2x{\rm{ }}-{\rm{ }}5{\rm{ }} = {\rm{ }}0\);
b) \(9{x^2}-{\rm{ }}12x{\rm{ }} + {\rm{ }}4{\rm{ }} = {\rm{ }}0\);
c) \(5{x^2} + {\rm{ }}x{\rm{ }} + {\rm{ }}2{\rm{ }} = {\rm{ }}0\);
d) \(159{x^2}-{\rm{ }}2x{\rm{ }}-{\rm{ }}1{\rm{ }} = {\rm{ }}0\)
Bài giải:
a) Phương trình \(4{x^2} + {\rm{ }}2x{\rm{ }}-{\rm{ }}5{\rm{ }} = {\rm{ }}0\) có nghiệm vì \(a = 4, c = -5\) trái dấu nhau nên phương trình luôn có 2 nghiệm. Nên theo hệ thức Vi-ét ta có
\(\displaystyle{x_1} + {x_2} = {\rm{ }} – {1 \over 2};{x_1}{x_2} = – {5 \over 4}\)
b) Phương trình \(9{x^2}-{\rm{ }}12x{\rm{ }} + {\rm{ }}4{\rm{ }} = {\rm{ }}0\) có \(\Delta’ = 36 – 36 = 0\). Phương trình có nghiệm kép. Nên theo hệ thức Vi-ét ta có
\(\displaystyle{x_1} + {x_2} = {{12} \over 9} = {4 \over 3};{x_1}{x_2} = {4 \over 9}\)
c) Phương trình \(5{x^2} + {\rm{ }}x{\rm{ }} + {\rm{ }}2{\rm{ }} = {\rm{ }}0\) có
\(\Delta =\) \({1^2} – {\rm{ }}4{\rm{ }}.{\rm{ }}5{\rm{ }}.{\rm{ }}2{\rm{ }} = {\rm{ }} – 39{\rm{ }}
2. Giải bài 30 trang 54 sgk Toán 9 tập 2
Tìm giá trị của m để phương trình có nghiệm, rồi tính tổng và tích các nghiệm theo m.
a) \({x^2}-{\rm{ }}2x{\rm{ }} + {\rm{ }}m{\rm{ }} = {\rm{ }}0\);
b) \({x^2}+{\rm{ }}2\left( {m{\rm{ }}-{\rm{ }}1} \right)x{\rm{ }} + {\rm{ }}{m^2} = {\rm{ }}0\)
Bài giải:
a) Phương trình \({x^2}-{\rm{ }}2x{\rm{ }} + {\rm{ }}m{\rm{ }} = {\rm{ }}0\) có nghiệm khi \(\Delta ‘{\rm{ }} = {\rm{ }}1{\rm{ }} – {\rm{ }}m{\rm{ }} \ge {\rm{ }}0\) suy ra \(m ≤ 1\)
Khi đó theo hệ thức Vi-et ta có \({x_{1}} + {\rm{ }}{x_{2}} = {\rm{ }}2\), \({\rm{ }}{x_{1}}.{\rm{ }}{x_2} = {\rm{ }}m\)
b) Phương trình \({x^2}-{\rm{ }}2\left( {m{\rm{ }}-{\rm{ }}1} \right)x{\rm{ }} + {\rm{ }}{m^2} = {\rm{ }}0\) có nghiệm khi
\(\Delta ‘{\rm{ }} = {\rm{ }}{m^{2}} – {\rm{ }}2m{\rm{ }} + {\rm{ }}1{\rm{ }}-{\rm{ }}{m^2} = {\rm{ }}1{\rm{ }}-{\rm{ }}2m{\rm{ }} \ge {\rm{ }}0\)
Suy ra \(m ≤\dfrac{1}{2}\)
Khi đó theo hệ thức Vi-ét ta có \({x_{1}} + {\rm{ }}{x_2} = -{\rm{ }}2\left( {m{\rm{ }}-{\rm{ }}1} \right)\), \({\rm{ }}{x_{1}}.{\rm{ }}{x_2} = {\rm{ }}{m^2}\)
3. Giải bài 31 trang 54 sgk Toán 9 tập 2
Tính nhẩm nghiệm của các phương trình:
a) \(1,5{x^2}-{\rm{ }}1,6x{\rm{ }} + {\rm{ }}0,1{\rm{ }} = {\rm{ }}0\);
b) \(\sqrt 3 {x^2}-{\rm{ }}\left( {1{\rm{ }} – {\rm{ }}\sqrt 3 } \right)x{\rm{ }}-{\rm{ }}1{\rm{ }} = {\rm{ }}0\)
c) \(\left( {2{\rm{ }} – {\rm{ }}\sqrt 3 } \right){x^2} + {\rm{ }}2\sqrt 3 x{\rm{ }}-{\rm{ }}\left( {2{\rm{ }} + {\rm{ }}\sqrt 3 } \right){\rm{ }} = {\rm{ }}0\);
d) \(\left( {m{\rm{ }}-{\rm{ }}1} \right){x^2}-{\rm{ }}\left( {2m{\rm{ }} + {\rm{ }}3} \right)x{\rm{ }} + {\rm{ }}m{\rm{ }} + {\rm{ }}4{\rm{ }} = {\rm{ }}0\) với \(m ≠ 1\).
Bài giải:
a) Phương trình \(1,5{x^2}-{\rm{ }}1,6x{\rm{ }} + {\rm{ }}0,1{\rm{ }} = {\rm{ }}0\)
Có \(a + b + c = 1,5 – 1,6 + 0,1 = 0\) nên \(\displaystyle{x_1} = 1;{x_2} = {\rm{ }}{{0,1} \over {1,5}} = {1 \over {15}}\)
b) Phương trình \(\sqrt 3 {x^2}-{\rm{ }}\left( {1{\rm{ }} – {\rm{ }}\sqrt 3 } \right)x{\rm{ }}-{\rm{ }}1{\rm{ }} = {\rm{ }}0\)
Có \(a – b + c = \sqrt{3} + (1 – \sqrt{3}) + (-1) = 0\) nên \(\displaystyle{x_1} = – 1,{x_2} = – {{ – 1} \over {\sqrt 3 }} = {\rm{ }}{{\sqrt 3 } \over 3}\)
c) \(\left( {2{\rm{ }} – {\rm{ }}\sqrt 3 } \right){x^2} + {\rm{ }}2\sqrt 3 x{\rm{ }}-{\rm{ }}\left( {2{\rm{ }} + {\rm{ }}\sqrt 3 } \right){\rm{ }} = {\rm{ }}0\)
Có \(a + b + c = 2 – \sqrt{3} + 2\sqrt{3} – (2 + \sqrt{3}) = 0\)
\({x_1} = 1;{x_2} = \dfrac{{ – \left( {2 + \sqrt 3 } \right)}}{{2 – \sqrt 3 }} = \dfrac{{ – {{\left( {2 + \sqrt 3 } \right)}^2}}}{{\left( {2 – \sqrt 3 } \right)\left( {2 + \sqrt 3 } \right)}} = – 7 – 4\sqrt 3 \)
d) \(\left( {m{\rm{ }}-{\rm{ }}1} \right){x^2}-{\rm{ }}\left( {2m{\rm{ }} + {\rm{ }}3} \right)x{\rm{ }} + {\rm{ }}m{\rm{ }} + {\rm{ }}4{\rm{ }} = {\rm{ }}0\)
Có \(a + b + c = m – 1 – (2m + 3) + m + 4 = 0\)
Nên \(\displaystyle{x_1} = 1,{x_2} = {\rm{ }}{{m + 4} \over {m – 1}}\)
4. Giải bài 32 trang 54 sgk Toán 9 tập 2
Tìm hai số u và v trong mỗi trường hợp sau:
a) \(u + v = 42\), \(uv = 441\);
b) \(u + v = -42\), \(uv = -400\);
c) \(u – v = 5\), \(uv = 24\).
Bài giải:
a) \(u + v = 42\), \(uv = 441\) thỏa mãn điều kiện \({42^2} – 4.441 \ge 0\) suy ra \(u, v\) là nghiệm của phương trình:
\({x^2}-{\rm{ }}42x{\rm{ }} + {\rm{ }}441{\rm{ }} = {\rm{ }}0\)
\(\Delta’ {\rm{ }} = {\rm{ }}{21^2}-{\rm{ }}441{\rm{ }} = {\rm{ }}441{\rm{ }}-{\rm{ }}441{\rm{ }} = {\rm{ }}0\)
\({\rm{ }}\sqrt {\Delta ‘} {\rm{ }} = {\rm{ }}0;{\rm{ }}{x_1} = {\rm{ }}{x_2} = {\rm{ }}21\)
Vậy \(u = v = 21\)
b) \(u + v = -42, uv = -400\), thỏa mãn điều kiện \({\left( { – 42} \right)^2} + 4.440 \ge 0\) nên \(u, v\) là nghiệm của phương trình:
\({x^2} + {\rm{ }}42x{\rm{ }}-{\rm{ }}400{\rm{ }} = {\rm{ }}0\)
\(\Delta’ {\rm{ }} = {\rm{ }}441{\rm{ }} + {\rm{ }}400{\rm{ }} = {\rm{ }}841\)
\(\sqrt {\Delta ‘} {\rm{ }} = {\rm{ }}29\)
Suy ra \({x_1} = \dfrac{{ – 21 + 29}}{1} = 8;{x_2} = \dfrac{{ – 21 – 29}}{1} = – 50\)
Do đó: \(u = 8, v = -50\) hoặc \(u = -50, v = 8\)
c) \(u – v = 5, uv = 24\). Đặt \(–v = t\), ta có \(u + t = 5, ut = -24\), thỏa mãn điều kiện \({5^2} + 4.24 \ge 0\)
nên \(u,t\) là nghiệm của phương trình: \({x^2} – 5x – 24 = 0\)
\(\Delta = {b^2} – 4ac = {\left( { – 5} \right)^2} – 4.1.\left( { – 24} \right) = 121 \Rightarrow \sqrt \Delta = 11\)
Từ đó \({x_1} = \dfrac{{ – b + \sqrt \Delta }}{{2a}} = \dfrac{{ – \left( { – 5} \right) + 11}}{2} = 8;{x_2} = \dfrac{{ – b – \sqrt \Delta }}{{2a}} = \dfrac{{ – \left( { – 5} \right) – 11}}{2} = – 3\)
Vậy \(u = 8, t = -3\) hoặc \(u = -3, t = 8\).
Do đó: \(u = 8, v = 3\) hoặc \(u = -3, v = – 8\).
5. Giải bài 33 trang 54 sgk Toán 9 tập 2
Chứng tỏ rằng nếu phương trình \(a{x^2} + bx + c = 0\) có nghiệm là \({x_1}\) và \({x_2}\) thì tam thức \(a{x^2} + bx + c \) phân tích được thành nhân tử như sau:
\(a{x^2} + {\rm{ }}bx{\rm{ }} + {\rm{ }}c{\rm{ }} = {\rm{ }}a(x{\rm{ }}-{\rm{ }}{x_1})(x{\rm{ }}-{\rm{ }}{x_2})\).
Áp dụng: Phân tích đa thức thành nhân tử.
a) \(2{x^2}-{\rm{ }}5x{\rm{ }} + {\rm{ }}3\)
b) \({\rm{ }}3{x^2} + {\rm{ }}8x{\rm{ }} + {\rm{ }}2\)
Bài giải:
Vì \(x_1;x_2\) là hai nghiệm của phương trình \(ax^2+bx+c=0\) nên theo hệ thức Vi-ét ta có
\(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = – \dfrac{b}{a}\\{x_1}.{x_2} = \dfrac{c}{a}\end{array} \right.\)
Xét \(a{x^2} + {\rm{ }}bx{\rm{ }} + {\rm{ }}c{\rm{ }} = {\rm{ }}a(x{\rm{ }}-{\rm{ }}{x_1})(x{\rm{ }}-{\rm{ }}{x_2})\).
Biến đổi vế phải:
\(a(x{\rm{ }}-{\rm{ }}{x_1})(x{\rm{ }}-{\rm{ }}{x_2}){\rm{ }} \)
\(= a\left( {{x^2} – x{x_2} – x{x_1} + {x_1}{x_2}} \right) \)
\(= {\rm{ }}a{x^2}-{\rm{ }}a({x_1} + {\rm{ }}{x_2})x{\rm{ }} + {\rm{ }}a{x_1}{x_2}\)
\(\displaystyle = a{x^2} – a\left( { – {b \over a}} \right)x + a{c \over a} = a{x^2} + bx + c\)
Vậy phương trình \(a{x^2} + bx + c = 0\) có nghiệm là \({x_1},{x_2}\) thì:
\(a{x^2} + {\rm{ }}bx{\rm{ }} + {\rm{ }}c{\rm{ }} = {\rm{ }}a(x{\rm{ }}-{\rm{ }}{x_1})(x{\rm{ }}-{\rm{ }}{x_2})\).
Xem thêm: Quảng Trường Là Gì - Yếu Tố Tạo Nên Sức Hút
Áp dụng:
a) Phương trình \(2{x^2}-{\rm{ }}5x{\rm{ }} + {\rm{ }}3{\rm{ }} = {\rm{ }}0\) có \(a + b + c = 2 – 5 + 3 = 0\) nên có hai nghiệm là \(\displaystyle {x_1} = 1,{x_2} = {\rm{ }}{3 \over 2}\) nên:
\(\displaystyle 2{x^2}{\rm{ + }}5x + 3 = 2(x{\rm{ – }}1)(x – {\rm{ }}{3 \over 2}) = (x – 1)(2x – 3)\)
b) Phương trình \({\rm{ }}3{x^2} + {\rm{ }}8x{\rm{ }} + {\rm{ }}2=0\) có \(a = 3, b = 8, b’ = 4, c = 2\).
Nên \(\Delta’ {\rm{ }} = {\rm{ }}{4^2}-{\rm{ }}3{\rm{ }}.{\rm{ }}2{\rm{ }} = {\rm{ }}10\) suy ra phương trình có hai nghiệm là:
\({x_1}\) = \(\dfrac{-4 – \sqrt{10}}{3}\), \({x_2}\)= \(\dfrac{-4 + \sqrt{10}}{3}\)
nên: \(\displaystyle 3{x^2} + 8x + 2 = 3(x – {\rm{ }}{{ – 4 – \sqrt {10} } \over 3})(x – {\rm{ }}{{ – 4 + \sqrt {10} } \over 3})\)
\(\displaystyle = 3(x + {\rm{ }}{{4 + \sqrt {10} } \over 3})(x + {\rm{ }}{{4 – \sqrt {10} } \over 3})\)
Bài trước:
Bài tiếp theo:
Chúc các bạn làm bài tốt cùng giải bài tập sgk toán lớp 9 với giải bài 29 30 31 32 33 trang 54 sgk toán 9 tập 2!